PDF-версии: 
Фигура ABCDA1B1C1D1 — куб, длина ребра которого равна 
Сфера проходит через его вершины A и C1 и середины ребер AA1 и DD1. Найдите площадь сферы S и в ответ запишите значение выражения 
Решение. Пусть P и Q — середины ребер AA1 и DD1, соответственно. Сечением сферы плоскостью APQ является окружность, описанная около этого треугольника, и, следовательно, прямоугольника APQD, следовательно, точка D также лежит на сфере. Аналогично, для плоскости ADC1, точка B1 также лежит на сфере.
Центр сферы является точкой равноудаленной от точек A, P, Q, D, следовательно, лежит на прямой проходящей через R — центр четырехугольника APQD перпендикулярно к плоскости APQD. Аналогично, для точек A, B1, C1, D, центр лежит на прямой проходящей через O — центр четырехугольника AB1C1D (центр куба) перпендикулярно плоскости AB1C1D. Обе эти прямые лежат в серединном сечении куба KLMN, где K, L, M, N — середины ребер AD, A1D1, B1С1, BC, соответственно. Точка их пересечения Z — центр сферы. Нетрудно проверить, что она равноудалена от всех известных точек, лежащих на сфере. Найдем квадрат радиуса сферы
Тогда площадь поверхности сферы равна 
Ответ: 840.